[데이터통신] 3.2 주기 아날로그 신호(2)

5. 복합 신호

 하나의 신호를 갖는 정현파는 데이터 통신 환경에서 적합하지 않습니다. 실제 통신에서 보내는 신호는 여러 개의 단순 정현파들로 만들어진 복합 신호가 필요합니다. 

그러한 복합 신호의 틀을 분석하는 것이 Fourier 분석입니다. 푸리에 분석에 의하면 임의의 복합 신호는 서로 다른 주파수, 진폭, 위상을 갖는 단순 정현파들의 조합으로 나타낼 수 있습니다. 

 

 복합 신호는 주기적일 수도 있고 비주기적일 수도 있습니다. 주기 복합 신호는 주기들이 정수 값을 갖는 순차적인 단순 정현파들로 분해될 수 있습니다. 비주기 복합 신호는 연속적인 실수 값을 갖는 주파수와 진폭으로 된 무한의 정현파들로 분해됩니다.

먼저 주기 신호에 대해 살펴보기 위해 fourier series에 대해 알아봅니다. 

수식을 살펴보면, 직류 성분 A0, sin파들의 조합, cos파들의 조합 총 세 가지 성분으로 나타낸 것을 알 수 있습니다. sin파와 cos파는 기본 주파수 f의 n배를 갖는 신호들이 무한개의 합으로 표현되었습니다. 

예를 들어 위와 같은 주기 신호가 있다고 하면, 해당 신호는 원점에 대해 대칭인 것을 알 수 있습니다. cos은 y축대칭이고 sin은 원점 대칭이라는 것은 잘 아는 사실입니다. 이를 통해 위의 주기 신호는 주로 sin wave의 영향을 받았다고 판단할 수 있습니다. 따라서 sin파의 계수인 An이 의미 있는 값을 가지게 됩니다. 

이 수식을 실제 푸리에 시리즈로 나열해 보면 그때의 주파수 성분을 이를 frequency domain에서 표현할 수 있습니다. frequency domain에서 수평축은 f, 2f, 3f, 4f,... 와 같이 f의 정수배로 표현되어 있습니다. 여기서 기본 주파수(fundamental frequency)인 f에 대해 나머지 주파수들은 n배에 해당하는 것을 볼 수 있습니다. 

기본 주파수는 대상 signal의 어디에서 소스를 얻을 수 있을까요? 바로 전체적인 반복되는 패턴의 주기가 T일 때, T의 역수에 해당하는 값이 바로 기본 주파수가 됩니다. 

정리해보면 전체적으로 패턴이 반복되는 주기를 읽어 fundamental frequency를 짐작할 수 있고, 그것의 n배 주파수 성분이 합해져서 위와 같은 signal이 만들어집니다. 그리고 이 signal은 주파수 성분이 f의 n배가 되는 성분만 가지게 되고, 그 사이에 해당하는 주파수 성분은 가지지 않습니다. 

 

이로부터 주기신호일 경우 주파수 성분이 이산적인 성분으로 이루어진다는 중요한 사실을 알 수 있습니다. 

 

그렇다면 주기 신호가 아닐 경우 구성 성분들은 어떤 주파수 성분들을 가질까요? Fourier transform을 통해 알아봅니다. 

시간 영역에서의 신호 s(t)와 이에 대한 주파수 영역에서의 그래프 S(f)의 관계는 위와 같습니다. 이 공식이 fourier transform입니다. 반대로 우리가 주파수 영역에서의 곡선을 알고 있다면, 이 신호의 시간 영역에서의 신호 형태도 inverse fourier transform 공식을 통해 구할 수 있습니다. 

위의 비주기함수식 s(t)를 푸리에 변환 공식에 넣어 계산하면 위와 같은 sink형태의 그래프를 갖는 S(f) 식이 도출됩니다.

sink 파형은 기본적으로  sinf/f 형태를 갖습니다. 이 그래프는 x축 양의방향으로 증가할수록 분모 값도 커지게 되므로 sin함수의 진폭은 점점 감쇠되면서 sin함수의 형태는 유지됩니다. 결과적으로 푸리에 시리즈의 결과와 비교했을 때, 주파수 영역 그래프는 연속된 형태를 띱니다. 따라서 비주기 신호는 모든 연속된 주파수 성분을 다 갖는 정현파들의 합으로 이루어진다는 사실을 알 수 있습니다. 

 

정리하면, 복합 신호가 주기적이면 분해하게 되었을 때 이산 주파수를 갖는 순차적인 정현파들로 나뉘게 됩니다.

복합 신호가 비주기적이면 분해하게 되었을 때 무한 개의 연속적인 주파수를 갖는 정현파들로 나뉘게 됩니다. 

 

복합 주기 신호

복합 주기 신호의 시간 영역 및 주파수 영역 분해

비주기 신호의 시간 영역과 주파수 영역