[데이터통신] 3.2 주기 아날로그 신호(1)

아날로그 신호는 단순 신호와 복합 신호로 나뉩니다. 정현파(사인파, sine wave)와 같은 단순 아날로그 신호는 더 이상 단순한 신호로 나뉠 수 없으나, 복합(composite) 아날로그 신호는 여러 개의 정현파로 나뉠 수 있습니다. (참고 : Fourier series)

1. 정현파

• 사인파(sine wave, 정현파)는 아날로그 주기 신호의 가장 기본적인 형태
• 단순 아날로그 신호(정현파)
• s는 순간 진폭, A는 최대 진폭, f는 주파수, Φ는 위상이라고 할 때, 

정현파(사인파, sine wave)

1) 최대 진폭

• 전송하는 신호의 에너지에 비례하는 가장 큰 세기의 절댓값
• 전기 신호의 경우, 최대 진폭은 전압(v)으로 측정

위상과 주파수는 같지만 진폭이 서로 다른 두 신호

 

🦄 예제 3.1 제곱 평균값(rms, root mean square)

미국에서 가정의 전기는 최대 진폭 155에서 170V의 정현파로 표시할 수 있다. 그러나 미국 가정의 전압은 110에서 120V로 알려져 있다. 이 차이는 전압이 제곱 평균값을 채택하기 때문이다. 

여기서 v(t)가 집으로 들어오는 교류파 signal이라고 하면, 이에 대해 제곱을 취한 뒤 한 주기 동안의 평균을 구합니다. 이 교류 파형은 주기 함수이기 때문에 T라는 주기를 갖고 있습니다. 따라서 이 결괏값에 제곱근을 취하면 전압의 제곱 평균값을 구할 수 있습니다. 

v(t)에 정현파 cos함수를 대입하여 계산하면 결과는 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다. 

교류의 최대 진폭과 대응되는 Vrms값 사이에 다음과 같은 관계가 있다는 것을 알 수 있습니다. 

2) 주기와 주파수

• 주기(Period) : 하나의 사이클을 완성하는데 필요한 시간(초 단위) (T)
• 주파수(Frequency) : 주기의 역수, 1초 동안 생성되는 신호 주기의 수

아래는 진폭과 위상은 같지만 주파수가 서로 다른 신호를 보여주는 그림입니다. 

진폭과 위상은 같지만 주파수가 서로 다른 신호

1초 동안 반복되는 파형이 몇 개 있는지 살펴보면 a에서는 12개 반복이 되고, b에서는 6번 반복됩니다. 따라서 a의 주파수는 12이고 b의 주파수는 6이 됩니다. 

 

주기는 공식적으로 초로 나타냅니다. 주파수는 공식적으로 매 초당 사이클 수인 헤르츠(Hertz, Hz)로 나타냅니다. 주기와 주파수의 단위는 다음과 같이 정리할 수 있습니다. 

 

여기서 주기와 주파수가 서로 역수 관계임을 확인할 수 있습니다. 

 

주파수의 물리적 의미를 살펴보면 시간에 대한 신호의 변화율을 의미합니다.

주파수의 시간에 대한 짧은 기간 내의 변화는 높은 주파수를 의미하고, 긴 시간에 걸친 변화는 낮은 주파수를 의미합니다. 

또한 만약 신호가 전혀 변화하지 않으면 주파수는 0이고, 신호가 순간적으로 변화하면, 주파수는 무한대입니다. 

2. 위상(phase)

• 시간 0시에 대한 파형의 상대적인 위치
• Phase descrives the position of the waveform relative to time 0
• 시간축을 따라 앞뒤로 이동될 수 있는 파형에서 그 이동된 양
• 첫 사이클의 상태를 표시

아래에서는 진폭과 주파수는 같지만 위상이 서로 다른 두 개의 정현파를 보여줍니다. 

 

🦄 예제 3.6 라디안

어떤 정현파는 시간 0의 점에서 1/6 사이클만큼 벗어나 있다. 이 signal의 위상을 각도와 라디안으로 표현하시오.

호의 길이가 반지름의 길이와 같을 때, 그 각도를 1 라디안이라고 정의한다. 
전체 원을 그렸다고 가정하면 호의 길이는 2π이므로 이때 중심각은 360 º이기 때문에 1 라디안은 2π/360 º이다.
이 문제에서 위상은 1/6 cycle 만큼의 편차가 생겼기 때문에 아래와 같이 나타낼 수 있다.

👩‍🏫 문제

(sol)

2πft + θ는 라디안 값을 나타냅니다. 위상(θ)을 0으로 가정하고 t가 주기(T)와 같다면,

Asin(2π) = 0 (∵ f와 T는 역수 관계)

이는 한 사이클 이후의 값을 나타냅니다.

다시 말해서 수평 축에서 t값이 해당 신호의 주기와 같은 경우 원래 t=0 시점의 값과 같은 값을 가집니다. 

3. 파장(wavelength)

• 단순 정현파의 주기나 주파수가 전송 매체를 통과하는 전파속도(propagation speed)와 연관
• 단순 신호가 한 주기 동안 진행할 수 있는 거리
• 파장과 주기

• 파장은 전파 속도와 주기가 주어지면 계산 가능
• 파장을 x, 전파속도를 c(빛의 속도), 주파수를 f라 하면

• 진공에서의 빛의 전파 속도 3*10⁸ m/s, 빨간색 빛(주파수 = 4*10 ¹⁴)의 파장은

4. 시간 영역과 주파수 영역

 지금까지는 신호를 표현할 때 시간영역에서 설명하였습니다. 정현파를 설명할 때 진폭, 주파수, 위상을 이용했는데, 이러한 변수들은 그래프 상 수평축이 시간인 시간 평면에서 표현하였습니다. 

동일한 신호를 주파수 영역에서도 표현할 수 있습니다. 

• 시간 영역 도면(time-domain plot) : 시간에 대한 순간적인 진폭
• 주파수 영역 도면(frequency-domain plot) : 주파수에 대한 최대 진폭

통신에서 매체들의 전송 성능을 이야기할 때 주파수 대역을 이용하므로, 매체에 전달되는 신호 또한 시간영역에서의 표현보다 주파수 영역에서의 특성을 이용해야 합니다. 

 

시간영역에서 표현한 그래프를 주파수 영역으로 옮기면 이 신호가 갖고있는 주파수 성분과 그 성분에서의 최대 진폭을 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. 

시간 영역 도면은 시간을 고려한 신호 진폭의 변화를 보여줍니다. (이는 진폭 대 시간 도면입니다. ) 위상은 시간 영역 도면에서 명백하게 측정 되지 않습니다.

반면, 주파수 영역 도면에서는 한 주기 안에서의 진폭의 변화는 보여주지 못합니다. 주파수 영역은 그리기가 쉬우며, 시간 영역 도면에서 찾을 수 있는 정보를 표현할 수 있는 것은 분명합니다. 주파수 영역 도면의 장점은 주파수와 최대 진폭을 알 수 있다는 점입니다. 완전한 정현파는 뾰족점 하나로 파ㅛ시됩니다. 이 뾰족점의 위치가 주파수를 알려주며, 그 높이가 최대 진폭입니다. 

 

여러 개의 정현파를 표현할 때, 시간 도메인보다는 주파수 영역에서 더 명확한 표현이 가능합니다.